Lección 8 · Probabilidad condicional
[08] Probabilidad Condicional
Teorema de la probabilidad total y de Bayes
Teoría
Muchas veces la probabilidad de un evento depende de que otro haya ocurrido. Eso es la probabilidad condicional P(A|B): "probabilidad de A dado B".
Dos teoremas clave:
- Probabilidad total — descompone P(A) según una partición de causas Bi.
- Teorema de Bayes — invierte la condición: a partir de P(A|B) obtiene P(B|A). Es la base del razonamiento diagnóstico (tests médicos, control de calidad, filtros de spam).
R no necesita paquetes para esto: se resuelve con aritmética y, sobre todo, se puede verificar por simulación, que es la forma más intuitiva de convencerse de los resultados (a veces contraintuitivos) de Bayes.
Conceptos clave
Probabilidad condicional
P(A|B) = P(A∩B) / P(B), con P(B) ≠ 0.
Independencia
A y B son independientes si P(A|B) = P(A).
Probabilidad total
P(A) = Σ P(A|Bi)·P(Bi) sobre una partición.
Teorema de Bayes
P(Bi|A) = P(A|Bi)·P(Bi) / P(A). Invierte la condición.
Diagrama de árbol
Representa las ramas de eventos sucesivos.
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01Probabilidad condicional desde una tabla
Con una tabla de contingencia calculamos P(A|B) directamente.
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El gráfico aparecerá aquí al usar plot(), hist(), barplot()…
02Teorema de la probabilidad total
Dos proveedores aportan piezas con distinta tasa de falla.
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El gráfico aparecerá aquí al usar plot(), hist(), barplot()…
03Teorema de Bayes
Test médico: sensibilidad 99%, falsos positivos 5%, prevalencia 1%. ¿P(enfermo | test +)?
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El gráfico aparecerá aquí al usar plot(), hist(), barplot()…
04Verificar Bayes por simulación
Simulamos 100.000 personas y contamos: la frecuencia confirma el cálculo.
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El gráfico aparecerá aquí al usar plot(), hist(), barplot()…
▸ Ejercicios propuestos
- Con la matriz
tab, calcula P(Defecto | M2). - Si la prevalencia sube a 10%, recalcula P(enfermo | test+) con Bayes. ¿Cambia mucho?
- Simula el problema de Monty Hall y estima la probabilidad de ganar cambiando de puerta.