Lección 10 · Variables aleatorias continuas
[10] Variables Aleatorias Continuas
Densidad, distribución normal y exponencial
Teoría
En una variable continua la probabilidad es el área bajo la curva de la función de densidad f(x). Por eso P(X = x) = 0 y solo tienen sentido los intervalos.
La reina es la distribución Normal N(μ, σ):
dnorm(x, μ, σ)→ altura de la densidad.pnorm(x, μ, σ)→ P(X ≤ x) (área a la izquierda).qnorm(p, μ, σ)→ el valor que deja área p a la izquierda.rnorm(n, μ, σ)→ genera datos normales.
La estandarización Z convierte cualquier normal en N(0,1), lo que conecta con la tabla Z clásica de la estadística.
Conceptos clave
Función de densidad f(x)
Curva cuya área bajo ella vale 1. La probabilidad es área.
P(a ≤ X ≤ b)
Área bajo f(x) entre a y b. P(X = x) = 0 en continuas.
Distribución Normal
Campana simétrica N(μ, σ). dnorm/pnorm/qnorm.
Estandarización (Z)
Z = (X − μ) / σ lleva a la normal estándar N(0,1).
Exponencial
Modela tiempos de espera. dexp/pexp.
Regla 68-95-99.7
% de datos a 1, 2 y 3 desviaciones de la media.
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01Probabilidades con la normal
Pesos N(72, 9). ¿P(X < 80)? ¿P(70 < X < 75)?
salida // R>
El gráfico aparecerá aquí al usar plot(), hist(), barplot()…
02Dibujar la campana y sombrear un área
Visualizamos P(X ≤ 80) como el área sombreada bajo la curva.
salida // R>
El gráfico aparecerá aquí al usar plot(), hist(), barplot()…
03Estandarización (puntaje Z)
Convertimos a Z y verificamos que pnorm coincide.
salida // R>
El gráfico aparecerá aquí al usar plot(), hist(), barplot()…
04Regla 68-95-99.7 y exponencial
Comprobamos la regla empírica y modelamos un tiempo de espera.
salida // R>
El gráfico aparecerá aquí al usar plot(), hist(), barplot()…
▸ Ejercicios propuestos
- Para N(500, 50), calcula P(X > 600) con
pnorm. - Encuentra el percentil 90 de una N(170, 8) (estaturas).
- Dibuja la densidad de una exponencial con tasa 0.5 entre 0 y 10.